Слово «Передвижничество» правильно пишется с двумя «и». Это слово происходит от латинского «передвихничествум», что означает способность к передвижению или мобильность.
В русском языке существует несколько слов с похожими окончаниями, такие как «сторожничество» или «белогвардеечество», но в слове «Передвижничество» используется двойное «и».