Слово «Безлошадник» пишется слитно.
Это составное слово образовано от слов «без» и «лошадник». «Без» – предлог, указывающий на отсутствие чего-либо, а «лошадник» – существо, которое оседло находится верхом на лошади.
Правильное написание слитно «Безлошадник» обозначает человека, который передвигается без использования лошади, в противовес «лошаднику», который обычно передвигается верхом на лошади.