Исходя из правил русского языка
Слово «бирка» пишется с одной буквой «и» в основном значении — ярлык, ценник, бирка на одежде. Это правило можно легко запомнить, если обратить внимание на происхождение слова и его звуковое написание.
Буквосочетание «ир»
В русском языке буквосочетание «ир» часто передается одной буквой «и». Это правило соблюдается и в слове «бирка».
Происхождение слова
Слово «бирка» пришло в русский язык из немецкого языка. В немецком языке тоже пишется с одной буквой «i» — «die Birke». Таким образом, написание слова «бирка» без лишней «и» является логичным и соответствует происхождению слова.