Слово «облегченно» пишется через «о» после приставки «об-«. Такое написание оправдано семантически и грамматически, учитывая приставку и корень слова «легко».
К примеру, в предложении: «Он выдохнул облегченно, узнав о своем успешном экзамене», слово «облегченно» используется для обозначения состояния облегчения или удовлетворения после чего-то неприятного или напряженного.
Таким образом, если вы хотите правильно использовать это слово в тексте, помните, что оно пишется через «о» после приставки «об-«.