Краткий ответ:
Слово «переспрашивать» пишется с одной «с».
Подробнее:
Правильное написание данного слова можно узнать, разбив его на приставку «пере-» и основу «спрашивать». Префикс «пере-» указывает на повторение действия, а корень «спрашивать» связан с глаголом «спросить». Поэтому корректное написание будет именно с одной буквой «с» — «переспрашивать».