Правильное написание слова «Просительность» определяется правилами русского языка и следующим образом: без прописной буквы, с буквами «просительность».
Это слово образовано от слова «просить» и имеет значение характеристики качества или состояния. Оно обозначает суть или свойство того, кто или что проявляет или проявляет просьбу, выражает благосклонное отношение к другим, стремится к помощи.