Правильно пишется слово «Старчество» c мягким знаком после «р» и без двойной «ч».
Примеры использования правильного написания:
- Он вступил в старчество после многих лет верной службы.
- Атаман провел заседание старчества для решения важных вопросов.
- Славное старчество давно служит образцом мудрости и опыта.