Словосочетание «строго-настрого» пишется через дефис и с двумя гласными «о». Это общепринятое правописание данного выражения в русском языке.
Если вы сомневаетесь в правильности написания слова «строго-настрого», то всегда можно воспользоваться орфографическими словарями или онлайн-ресурсами, чтобы подтвердить свои сомнения.