Правильное написание слова «выслуживание» зависит от контекста. Если мы говорим о процессе обслуживания клиентов или гостей с использованием уже накопленного опыта и знаний, то правильно писать это слово через «ы», т.е. «выслуживание».
Слово «выслуживание» образовано от глагола «служить», приставка «вы-» указывает на повышенный уровень или качество. Поэтому в данном контексте правильно употреблять именно «ы» в слове.
Например, «После многих лет работы в отеле, она стала экспертом в выслуживании гостей и всегда держала наивысший уровень сервиса».